Mengenal Apa Itu Identitas Trigonometri serta Contoh Soal Hukum Sinus dan Cosinus

Daftar isi [Tampil]

Trigonometri adalah salah satu cabang dari ilmu Matematika yang berkaitan dengan sudut dan sisi segitiga. Di dalam trigonometri Anda akan mengenal istilah cosinus, sinus, dan tangen. Dengan mengetahui salah satu sudut dan besar sisi dari segitiga, Anda dapat mengetahui besar sisi lainnya melalui trigonometri.

identitas trigonometri
identitas trigonometri

Hukum Sinus

Sinus digunakan untuk mengukur besar ketiga sudut dan juga ketiga sisi dari segitiga. Pada sebuah segitiga yang memiliki sudut α dengan sisi segitiga di hadapannya a, sudut β dengan sisi segitiga di hadapannya b, sudut γ dengan sisi segitiga di hadapannya c, maka Hukum Sinus pada segitiga adalah:

sin αa = sin b = sin c


Contoh Soal Hukum Sinus

Sebagai contoh, sebuah segitiga memiliki besar sudut α = 60o dengan sisi a di hadapannya sebesar 40 cm, besar sudut β = 30o dengan sisi b di hadapannya sebesar 30 cm. Jika sudut lainnya adalah γ dengan panjang sisi yang tidak diketahui c, maka berapakah panjang c?

Jawab:

Total sudut pada segitiga adalah 180sehingga besar sudut γ adalah:

γ = 180o  – 60o  -30o

γ = 90o

Maka panjang c dapat diketahui dengan mengambil salah satu sudut lainnya, yakni sudut α dan sudut β. Sebagai contoh kita mengambil sudut β dengan panjang sisi b, maka panjang sisi c bisa diperoleh dengan rumus berikut ini:

(sin β)/b = (sin γ)/c

(sin 30o)/30 cm = (sin 90o)/c

(0,5)/30 cm = (1)/c

c = 30/0,5

c = 60 cm

Hukum Cosinus

1) Menghitung panjang sisi ketiga segitiga, apabila dua sisi segitiga dengan salah satu sudut diketahui.

Formula cosinus pada segitiga dengan sudut α, β dan γ dengan sisi segitiga di hadapannya a, b, dan c adalah:

a² = b² + c² - 2bc cos α

b² = a² + c² - 2ac cos β

c² = a² + b² - 2ab cos γ

2) Menghitung besar sudut segitiga, apabila tiga sisi segitiga diketahui.

cos α = (b² + c² - a²) / 2bc 

Contoh Soal Hukum Cosinus

Sebagai contoh, sebuah segitiga memiliki besar sudut α = 60dengan sisi a di hadapannya, panjang sisi b sebesar 25 cm dan panjang sisi c sebesar 10 cm. Menggunakan rumus cosinus, berapakah panjang sisi a?

Jawab:

a² = b² + c² - 2bc cos α

a² = 25² + 10² - (2 x 25 x 10 cos 60o)

a² = 625 + 100 – (500 x 0,5)

a² = 475

a = 21,8 cm 

Identitas Trigonometri

Sebuah segitiga siku-siku berada di dalam seperempat lingkaran memiliki panjang sisi miring yang sama dengan radius pada lingkaran, yaitu 1. Panjang sisi segitiga lainnya adalah x dan y, sementara salah satu sudut segitiga adalah σ. Menggunakan phytagoras, panjang sisi miring dituliskan sebagai:

x² + y² = 1

cos² σ + sin² σ = 1

Formula Penjumlahan Sudut dan Pengurangan

Formula trigonometri penjumlahan dan pengurangan sudut sangat berguna untuk mencari tahu nilai sin, cos atau tangen dari sudut tertentu dengan cara mengurangi atau menjumlahkan sudut special, seperti 30o, 45o, 60o dan 90o

1. Formula penjumlahan dan pengurangan sudut sinus adalah:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

2. Formula penjumlahan dan pengurangan sudut cosinus adalah:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

3. Formula penjumlahan dan pengurangan sudut tangen adalah:

tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1- tan α tan β)

tan (α - β) = (tan α - tan β) / (1+ tan α tan β)

Formula Sudut Rangkap

Apabila sudut yang dijumlahkan bernilai sama, misalnya sudut A αo dan sudut B sebesar αo, maka formula sudut rangkap untuk sinus dan cosinus menjadi:

1. Formula untuk Sinus

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

Nilai sin α cos α = cos α sin α, sehingga diperoleh

sin (2α) = 2 sin α cos α 

2. Formula untuk Cosinus

cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

cos (2α) = cos² α – sin² α

Berdasarkan identitas trigonometri cos² σ + sin² σ = 1, maka formula di atas dapat dituliskan menjadi:

cos (2α) = 2 cos² α – 1

cos (2α) = 1 – 2 sin² α

Masing-masing formula di atas bersifat saling melengkapi. Hukum Cosinus seperti halnya Hukum Sinus dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga. Ada kalanya, Hukum Sinus tidak dapat digunakan karena kurangnya informasi terkait sudut segitiga, begitu pula sebaliknya.

Referensi tulisan: www.stiead.ac.id